球面の幾何学
「角の三等分」について考えていて、球面上であれば作図可能かもしれないと思いました。球の北極に角の頂点を置いて、線を赤道まで伸ばします。そして角によって切り取られた赤道の三等分が出来れば角の三等分もできるからです。
通常の平面の場合は、角をどんなに大きくしてもその角によって作られる円弧は直線に近づきはするものの、直線にはなりません。しかし球面上での幾何学では、赤道や子午線などの大円が直線となるので、角を大きくしていって円弧が大円になれば直線になるということです。
あとは直線の三等分を行うだけです。直線のｎ等分が行えることはわかっています。平面状ではなんですが。
球面上でも同じように直線のｎ等分ができれば問題なかったのですが、そう簡単にはいかなそうです。平面での直線のｎ等分には平行線を使うのですが球面には平行線が存在しません。２つ大円があれば、必ず交差するからです。だから別の方法で直線をｎ等分、とりあえずは三等分できないと球面上でも角の三等分はできないことになります。
話は少し変わって、球面上などの幾何学と平面の幾何学は相互に変換可能です。平面のユークリッド幾何学と、球面などの非ユークリッド幾何学は公理によって成り立つという点では同等とも考えられます。
そして平面状での作図問題は、代数の問題として考えることもできます。そこから、球面上の作図問題も代数に変換することができるのか考えてみました。
非ユークリッド幾何学をユークリッド幾何学に変換して、さらにユークリッド幾何学を代数に変換することはできるんだろうと思います。しかし、球面上では平行線が存在しないなど平面とは異なる結果になることもあり、それが代数に返還した場合にどうなるのかというのはややこしそうです。もしかしたらユークリッド幾何学に対応する通常の代数ではなくて、非ユークリッド的な代数というのも存在するのでしょうか。
| ユークリッド幾何学 | 代数 |
| 非ユークリッド幾何学 | ？ |
