自然の中のｅ（１）

はじめに

この話は６３．２％の憂鬱（１）〜（５）の続編として書かれていますが、内容としては単独で読んでも大丈夫です。

自然対数の底ｅ

「自然対数の底ってずいぶん長ったらしい言い方よね。」
彼女はそう言って口を尖らせた。そもそもどうして自然対数の底の話になったかというと、ｅ＾ｘは微分してもｅ＾ｘだという話から。
「ネイピア数という言い方もあるみたいだけど。」
ネイピアは対数の研究をした数学者ではあるが、ｅを発見したわけでは無いらしい。ｅを使うようにしたのはオイラーだったかな。
「それはともかく、自然対数というのも不思議。」
と彼女。
「不思議って、どうして。」
「何が自然なのかってことよ。」
「自然か。常用対数というのもあるけどこれは底が１０。どうして１０かというと、僕らが十進数を使っているから。自然対数の場合は、どうしてなんだろう。ｅ＾ｘが微分しやすいからかな。」
僕もよくわからないことだったので、あやふやに思ったことを答えた。
「数学的に便利なのかもしれないけど、それが自然ということはないわよね。それとも自然の中にｅが見つかることがあるのかしら、この前のプレゼント交換のときみたいに。」
「うーん、どうなんだろう。」
僕は考え込んだ。確かに、プレゼント交換の組み合わせについて考えていたときにｅが登場したのには驚いたけど、他にもそういったことがあるんだろうか。

サイコロの目

家に帰っても考えていたのだけど進展は何も無かったので、夕食のときに父親にきいてみた。
「自然対数の底ｅが、自然の中に見つかるかどうか、か。」
父親は、そういって首をひねっていたが何か思いついたようで、
「１／ｘの積分で自然対数がでてくるな。」
と続けた。そういえばそうだ。人間が底を選んだのではなく、計算の結果として自然対数が登場するのだから必然だ。
「でもこれもｅ＾ｘの微分がｅ＾ｘになることと似たようなものか。」
そう言われてみると、指数と対数だから関数と逆関数の関係なのか。これでは説明として弱い。
しばしの沈黙。
「この前の話と似てるけど、サイコロの目でもｅが出てくるな。」
と父親が口を開いた。
「どういうこと？」
と聞くと、
「サイコロを６回振って、一度も１がでない場合の確率は？」
逆に質問された。
「５／６の６乗だよね。」
単純な問題だ。
「それは具体的にはいくつ位かな。」
と続けてきかれたので電卓を使って計算してみる。約０．３３４で、それがどうしたと聞こうとしたが口を開く前に思い当たり逆数をとった。約２．９８５で少し違う。
「ｅとは少し違うね。」
「６の場合はね。」
そうか、サイコロは通常６面だけども数を増やして考えることも可能だから、どんどん数を増やしていくと前のようにｅに近づいていくかもしれない。それを確かめるには電卓では難しい。
「ありがとう。」
父親に礼を言って、自分の部屋に向かった。パソコンの表計算ソフトを使って確かめるためだ。

確率の逆数と公式

サイコロが６面の場合は、５／６の６乗なのだから、ｎ面の場合にｎ回振った場合の確率は（ｎ−１）／ｎのｎ乗になる。適当な数を選んで、それぞれの確率と逆数を表示させてみた。確かに数が大きくなるに従って、ｅの値２．７１８２８１８２８４５…、に近くなっている。しかしそれだけでは不十分で、ｅに収束するかどうかを確かめないと…。

x	f(x)=((x-1)/x)^x	1/f(x)
2	0.25	4
3	0.296296296	3.375
4	0.31640625	3.160493827
5	0.32768	3.051757813
6	0.334897977	2.985984
7	0.339916677	2.941897434
8	0.343608916	2.910285368
9	0.346439416	2.886507578
10	0.34867844	2.867971991
11	0.350493899	2.853116706
12	0.351995628	2.840944377
13	0.353258498	2.830788231
14	0.35433531	2.822185572
15	0.355264366	2.814805239
16	0.35607413	2.808403966
17	0.356786195	2.802799028
18	0.357417237	2.797850515
19	0.357980342	2.793449478
20	0.358485922	2.789509818
50	0.36416968	2.745972701
100	0.366032341	2.731999026
500	0.367511255	2.721005103
1000	0.367695425	2.719642216
10000	0.367861046	2.718417755
100000	0.367877602	2.71829542
1000000	0.367879257	2.718283188
10000000	0.367879423	2.718281963