自然対数の底その他

自然対数の底ｅを求めるのこんな式もあります。

これはかなり早く収束します。
階乗の部分を計算すると

と５項目でも１２０分の１というだいぶ小さな数になり、もっと後の項目ではさらに小さくなります。
こんな単純な式でｅの値を求めることができるのは不思議です。というか、これでなぜｅに収束するのかよくわかりません。

ｅと同じ超越数のπも、わりと単純な数列の和の極限を使って求めることができますが、これも不思議です。超越数ではあるけれど、それを求めるアルゴリズムは有限のわりと短いもので記述できるということだからです。超越数のなかには、有限語長では定義できないものもあるはず、というかその方がずっと多いはずです。

話はかわりますが、集合の要素の数が自然数以外というのは有り得るのだろうか、なんてことをふと考えたりもします。要素の個数が１つ２つと数えられる自然数なのは、当たり前なんですが、何かうまい拡張方法あるんじゃないかとか。実数の集合のような無限集合は、連続の物をむりやり数えられる要素とするのに無理があるので、連続な物は連続なまま集合にして扱えたら便利じゃないかとか。まあ単なる思い付きなんですが。