フィボナッチ数とべき乗（３）

「フィボナッチ数とべき乗（２）」からの続き。

ｎナッチ

階段の登り方を変えればトリボナッチ数になるというのはすぐに思いついた。１段づつ登るのと、ひとつ飛ばして２段登るのに加えて、２つ飛ばして３段登る方法も認めるとファイボナッチではなくトリボナッチ数になる。
階段が１段と２段の場合はフィボナッチ数と同じ１通りと２通りだけど、３段からは変わる。
フィボナッチ数の場合の３通りに加えて、３段を一度に登る１通りを加えて４通りになる。

そして４段からは、
１段登って残り３段の場合が４通り、
２段登って残り２段の場合が２通り、
３段登って残り１段の場合が１通り、
を合計すればいいので４＋２＋１で７通り。段数が増えても同じやり方が適用できる。

トリボナッチの次のテトラナッチでも階段の登り方の問題にすることができる。こんどは４段登る場合を加えればいい。ペンタナッチ以降も登り方を増やせばいいけど、実際に登ることを考えれば現実的ではないか。サイコロを振って出た目の段数だけ登るのならばヘキサナッチが実現可能だから、他の場合もそれに応じた範囲でランダムに数を選んでその段数を登るようにすればなんとか現実的な問題になるか。

階段の登り方の場合だと、数列の項を定義した場合のように最初に０が出てこないし、１も２つではなくひとつだけだ。そこで、各数列の０の項と最初の１の項を除いて表を作り直してみた。

フィボナッチ	トリボナッチ	テトラナッチ	ペンタナッチ	ヘキサナッチ	ヘプタナッチ	オクタナッチ	ノナボナッチ	デカボナッチ
1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	2	2	2	2	2	2
3	4	4	4	4	4	4	4	4
5	7	8	8	8	8	8	8	8
8	13	15	16	16	16	16	16	16
13	24	29	31	32	32	32	32	32
21	44	56	61	63	64	64	64	64
34	81	108	120	125	127	128	128	128
55	149	208	236	248	253	255	256	256
89	274	401	464	492	504	509	511	512
144	504	773	912	976	1004	1016	1021	1023
233	927	1490	1793	1936	2000	2028	2040	2045
377	1705	2872	3525	3840	3984	4048	4076	4088
610	3136	5536	6930	7617	7936	8080	8144	8172
987	5768	10671	13624	15109	15808	16128	16272	16336
1597	10609	20569	26784	29970	31489	32192	32512	32656
2584	19513	39648	52656	59448	62725	64256	64960	65280
4181	35890	76424	103519	117920	124946	128257	129792	130496

こうするとあたりまえながらフィボナッチよりトリボナッチと足す数が増えるにしたがって数も大きくなる。
グラフにもしてみたが、前のと同じスケールだとはみ出してしまう部分もでてしまった。

全体を表示するように修正。ヘキサナッチ以降はほとんど重なっているようにも見える。

グラフの見た目から推測すると、デカボナッチよりも足す項を増やしていっても変化は限定的でどこかに収束するように思えた。
足し合わせる項数をどんどん増やしていったらどうなるかというのを少し考えてみた。
まず一般化としてｎ項を足すｎナッチというのを考える。数列の定義としては最初の（ｎ−１）項までは０でｎ項が１になり、あとはｎ項を足して次の項を作る。（２ｎ−１）まではそのまま足していくだけでいい。
ｎが充分に大きいとして、値が０の項と最初の１を除いて（ｎ＋１）項目からを表にしてみた。

ｎナッチ
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072

デカボナッチなどの項の値からもある程度予想はしていたが、１、２、４、８、…と順に２倍になっていく。これならばｎ項の和とか考える必要もなく、比の係数が２の等比数列だ。
つまり、フィボナッチ、トリボナッチ、テトラナッチと足す項数を増やしていったｎナッチの極限を考えると、係数２の等比数列になるわけだ。別の考え方をすればフィボナッチに始まる数列は、必ず２のべき乗よりも小さくなるということか。

（おわり）