有限の宇宙で無限の経済成長を可能にする方法

http://blog.livedoor.jp/dankogai/archives/51218475.htmlの『404 Blog Not Found人文科学者がダメな理由がわかる - 書評 - 日本を変える「知」』で書かれていたことに関連して、無限の経済成長を可能にする方法について初歩の数学を使って説明します。

条件を適切に設定すれば、有限の世界で無限の経済成長を実現することは数学的にも可能です。一定の成長率を保ちながらでは無理ですが、必ず前年度よりも経済が増加するという意味での経済成長を続ることならばできます。

• ある年の経済を示す値をＡ_ｎとする数列を仮定して、その数列が無限に増加しながら、有限の値に収束するように設定する。

この数列の数列の通りに経済成長をした場合に、毎年経済成長をしながら、有限の範囲にとどまるというのは数学的には自明です。具体的な例をあげるとすれば、こういった数列です。

Ａ＝　１，　１．５，　１．７５，　１．８７５，　…，　Ａ_ｎ，　Ａ_ｎ＋１，…

ｎ番目のＡ_ｎとｎ＋１番目のＡ_ｎ＋１との間には以下の関係が成り立ちます。

Ａ_ｎ＋１−Ａ_ｎ＝１／２＾ｎ

ｎが大きくなるに従って、１／２＾ｎは小さくなりますが、ｎがどんなに大きな自然数だとしても１／２＾ｎは０にはなりません。
つまり、ある年Ａ_ｎから次の年Ａ_ｎ＋１には、０よりも大きい増加があるというのは数学的に明らかで、この数列が経済を示す値であるならば、経済成長があるということです。