微小のΔｘ

http://kyoko-np.net/2008090501.htmlにある『「２と１は等しい」　数学界で論議』のように、数学的に見ておかしなことを証明するやり方があります。結果がおかしいのだから、どこかに数学的な間違いが隠されているはずです。リンク先の証明ではａとｂが等しいとしておきながらａ−ｂで割る操作をしています。ａ−ｂは０なので、０で割るというやっていはいけないことをしています。

０で割るというのは、数学的に出来ないことになっていますが、微分を求める場合にはやっています。厳密にはΔｘを０に限りなく近づけた場合のΔｙ／Δｘを求めていて、Δｘ＝０ではありません。

微分と同様な方法を使って、２と１が等しいことを証明してみます。

ａ　＝　ｂ＋Δｘ
ａ^２　＝　ａ（ｂ＋Δｘ）
ａ^２−ｂ^２　＝　ａ（ｂ＋Δｘ）−ｂ^２
（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）　＝　ｂ（ａ−ｂ）＋ａΔｘ
ａ＋ｂ　＝　ｂ＋Δｘａ／（ａ−ｂ）
ｂ＋Δｘ＋ｂ　＝　ｂ＋Δｘａ／（ａ−ｂ）
２ｂ＋Δｘ　＝　ｂ＋Δｘａ／（ａ−ｂ）
Δｘ→０から、Δｘを含む項を除くと
２ｂ　＝　ｂ
２　＝　１

この証明の場合はａ≠ｂなので、０で割ることは行っていません。微分と同様に、０に近い微小のΔｘで割っているだけです。微分を認めるならば、この証明も正しいのではないでしょうか。

当然ながら、この場合も結果が間違っているので、どこかに数学的な間違いが含まれているはずです。