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1と2は等しい

昨日「微小のΔx」で書いたようなインチキではなく、数学的に間違いの無い1と2が等しいという証明もあります。「バナッハ・タルスキーのパラドックス」がそうです。
球を有限個のパーツに分けてから、組み替えるともとと同じ大きさの2個の球になるというものです。

参考リンク:wikipedia:バナッハ=タルスキーのパラドックス

ウィキペディアの説明を読んでもいまひとつよくわかりませんが、http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20091021/p1の「バナッハ・タルスキーのパラドックス」を読むと、少しは分かった気になります。
パラドックスと呼ばれてはいますが、数学的には全く正しい証明です。無限の操作を含んではいますが、球の分割は有限個で良いというのが不思議さを強めています。


もっとわかりやすい1と2が等しいという数学的に正しい証明には、線分に含まれる点の数があります。
長さ1の線分に含まれる点と、長さ2の線分に含まれる点を一対一対応させることは可能です。どんなに長い線分でも、それどころか無限に長い直線に含まれる点であっても、対応させることができるのです。だから、含まれる点の数からは長さの違う線分も同じというわけです。


以前に書いたもの
神と科学と数学は共存できるか?