できることだけでなく、できないことを把握する

昨日書いたこととも関連しますが、http://togetter.com/li/3833の『Togetter(トゥギャッター) - まとめ「√xまとめ」』で紹介されている以下の部分について。

みなさんは問題の所在を「教える内容」だと思っていますがそれは違います。彼らは、（１）4=x^2をみたすxを求めなさい、という問題には、正しく2,-2と回答する。（２）√4はいくつですか？と聞くと、2と正しく答える。（３）が、√xの定義はなんですか？と聞くと、二乗するとｘになる数と答える論理的な破たんにあるのであって、「本来√はどのように教科書で定義すべきか」というような技術論ではありません。

http://togetter.com/li/3833

√ｘの定義が、「二乗するとｘになる数」というのは必要十分条件を満たしてはいないけれど、必要条件を満たしてはいるのかなと感じました。二乗するとｘになる数だけでは√ｘの定義としては十分ではありませんが、ある数が二乗してもｘにならなければ√ｘではないということはわかります。必要条件を満たしていないからです。

必要条件と十分条件というのもきちんと理解するのが難しいところがあると思います。また、数学や論理学での必要条件や十分条件が理解できている人が、必ずしも必要条件や十分条件が成り立たない日常言語に前提抜きにそれを持ち込むことで混乱をもたらすこともあります。
混乱をもたらす意図はありませんが、必要条件や十分条件的なことを用いて、引用した文にでてくる問題について考えてみます。

（１）と（２）の問題は、必要ではあるけれど、十分ではないのではないか？

（１）と（２）の問題に正解することができても、（３）の問題に正解できないということから、この疑問はある程度の信憑性を持つのではないかと考えます。（１）と（２）がわかることは、（３）がわかるためには必要ではあるが十分ではないということです。

では、どういった修正をおこなえば十分条件をみたすのか、ということも考えました。

−４＝ｘ＾２をみたすｘを求めよ。

この問題は解なしです。少なくとも実数の範囲のｘで、二乗すると−４になる数はありません。
つまり、この問題がわかれば負の数の平方根は存在しないということが理解できていると推測できます。

次はこの問題。

−２＝√ｘをみたすｘを求めよ。

この問いも解なしです。両辺を二乗すると４＝ｘにはなりますが、√４は−２にはなりません。
これがわかれば、√ｘが負にはならないということもわかるように思います。

別の言い方をすれば、
平方根や√が成り立つ場合の問題ばかりでは、成り立たない場合についての理解を深めることにはならないのではないか。
ということです。

さらに言うと、平方数である４の平方根や√を求めるだけでも十分ではないのかなと思いました。例として、書きやすいものを選んだので実際にはもっと別の数を使っているとは思いますが。
別の数を使う場合でも、整数や有限小数さらに分数をつかったとしても有理数について説明しただけに過ぎません。ｘが実数であるのだから、無理数の場合もいくつかあった方が良いのではないかと考えます。
たとえば、
√５＝ｘ＾２をみたすｘを求めよ。
とか
５＋√２４＝ｘ＾２をみたすｘを求めよ。
などはどうでしょう。
これらによって、二乗して√５になる数が存在することなどがわかります。ちなみに２つ目の問題は、単に±√（５＋√２４）と書くだけでなく、別の表記も可能です。

代数的数だけでなく超越数も欲しいところです。
半径ｒの円と同じ面積の正方形の１辺の長さを求めよ。

これだけで十分かどうかはわかりませんが、こういった問題を複数解いていくことで、ｘが負でない場合ならばどんな数でも平方根や√が存在するということが実感できてくるのではないかと思います。

（追記）
他にも０の平方根やルートを問う問題も必要か。正の数ｘの平方根は√ｘと−√ｘの２つだけれど、０の平方根は１つしか無いので。
あとは１よりも小さい数のルートなんかも。そうでないとｘ＞√ｘがいつでも成り立つと勘違いするかもしれないので。