仲間外れの８（２）

家に帰ってから落ち着いて考えてみれば任意の文字列を繰り返す循環小数を考えるのは簡単で、０．ａｂｃａｂｃ…ならａｂｃを９９９で割ればいいんだから０１２３４５６７８９を繰り返したければ１２３４５６７８９を９９９９９９９９９９で割ればいいだけだ。
１２３４５６７８９を９倍すると１１１１１１１１０１だから、これを９９９９９９９９９９で割れば僕が彼女に見せられた数になる。１２３４５６７８９を１１１１１１１１１１で割っても同じ結果になる。わかってみれば何ということは無い。式に長い数があれば、計算結果が長くなっても不思議さは出てこない。
１を８１で割ると０．０１２３４５６７９…となるというのは単純な式なのはいいけれど、やはり８が抜けているのが気になる。とはいっても０から９がそろった方が面白いというのは単なる表記の問題で、数の本質とは無関係なこと。
いや、もしかしたらそうでもないのかも。
僕はパソコンの電卓を使っていくつか計算してみた。
１１１１１１１を７で割ると、１２３４５７になる。１１１１１１１１１１１１１１１をＦで割ると１２３４５６７８９ＡＢＣＤＦになった。なるほどなるほど、そういうことか。
とりあえず電卓にある８進数と１６進数では確認できた。１０進数ではない世界でも同じ数が並ぶマジックは可能だ。
でも８進数や１６進数以外の一般の進数でも成り立つんだろうか。たぶん成り立つのだろうけど、証明はどうすれば。
０．１１１…を９で割る計算を使うとできるかも。桁ごとに分けて計算し、０．１を９で割ったものに０．０１を９で割ったものを足して、というのを続けていく。

こんな感じで小数点以下９位まで計算して足していくと０．０１２３４５６７８９９９…となる。これが０．０１２３４５６７９になることは０．９９９…＝１からあきらか。でも、０．０１２３４５６７８９９９…の表記だと８も抜けずに出てくるのがちょっと感動。
１０進数以外の表記でも同じことができる。８進数で１を７で割れば０．１１１…になるし、１６進数で１をＦで割れば０．１１１…になる。それをさらに７なりＦで割れば同じことが起きる。

つまりはこういうこと。

ｎ進数で１を（ｎ−１）の自乗で割れば、小数点以下に０，１，２，３，…，（ｎ−３），（ｎ−１）が繰り返してあらわれる。

付け加えておくと、２桁や３桁の場合も考え方としては同じ。２進数を４桁ごとにまとめたものは１６進数と同等になるというのはコンピュータ関係ではおなじみだけど、１０進数を２桁、３桁ごとにまとめて考えて１００進数や１０００進数だとすれば、１を９８０１で割った場合に０１、０２、０３と続き、９７の次が９８を飛ばして９９になることや、９９８００１で割ったときに９９８が飛ばされることも説明できる。