Log of ROYGB

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火曜日生まれの男の子

http://togetter.com/li/25071「火曜日生まれの男子の問題 - Togetter」に出てくる問題について。


この問題も図を使うと理解しやすいと思います。


男と女の場合を7つに分けて番号をふります。青の2番が火曜日生まれの男の子としてその列は色を変えます。
二人とも男になるのは黄緑色の13マス、男と女の組み合わせは灰色の14マスなので二人とも男になる確率は13/27となるわけです。


シンプルな理解のための説明は以上です。ここからはさらなる理解を目指して少し混乱する話を進めます。


火曜日生まれという情報がなければ二人とも男になる確率は1/3です。
もし火曜日生まれでなく、日曜日生まれという情報でも確率は13/27となります。
月曜日や木曜日といった他の曜日でも同じことです。


1.子供が二人いる。少なくとも一人は男で月曜日生まれ。
2.子供が二人いる。少なくとも一人は男で火曜日生まれ。
3.子供が二人いる。少なくとも一人は男で水曜日生まれ。
4.子供が二人いる。少なくとも一人は男で木曜日生まれ。
5.子供が二人いる。少なくとも一人は男で金曜日生まれ。
6.子供が二人いる。少なくとも一人は男で土曜日生まれ。
7.子供が二人いる。少なくとも一人は男で日曜日生まれ。


1から7のどの場合でも、二人とも男になる確率は13/27になるわけです。
しかし、曜日の情報がない二人の子供がいて少なくとも片方が男であるという場合でも、その男の子は月曜から日曜のどれかの曜日に生まれたことは確実です。であれば、曜日の情報が無い場合でも1/3ではなく13/27となるのではないか。というように考えると混乱してきます。
逆に、曜日の情報が無い場合に1/3であるので、曜日がわかったとしても確率は変わらないという考え方もあり、どれかの曜日に生まれたことは確実でそれが何曜日だというのは確率を変えないというのにもそれなりに説得力がある気もします。


3人の死刑囚という問題が、これと似ているかもしれません。
A、B、Cのうち、2人が死刑にされ1人は釈放されることはわかっている。つまり1/3の確率で助かるといえる。
Cは看守に、A、Bのうち少なくとも1人は死刑になるのだからそれを教えて欲しいと言った。どちらかが死刑になるのは確実なので、死刑になるのが誰かを教えても何かを教えたことにはならないはずだ、というCの言葉をもっともだと思った看守は、Aが死刑になるというのを教えてくれた。
Cは、さっきまでは助かる確率は1/3だったが、Aが死刑になるとわかった今はBと自分のどちらかが死刑になるのだから助かる確率は1/2にアップした、と考えて喜んだ。