全ての偶数の和

全ての偶数の和は偶数になるのでしょうか。
偶数に偶数を足したものは偶数になるし、そこにさらに偶数を足していっても偶数であることに変わりはないので存在する全ての偶数を足してもやはり偶数であるような気がします。でも、全ての自然数を足した数は自然数ではないといったことも考えると違うような気がしてきます。

全ての自然数を足した数が自然数ではないというのは次のように説明できます。もし全ての自然数を足した数が自然数だとすると定義から最大の自然数ということになります。全ての自然数を足したのだから、足す前の数のどれよりも大きくなるはずだからです。しかし最大の自然数は存在しません。なぜならばどんな大きな自然数に対しても、それに１を足した数といったより大きな自然数を考えることができるからです。だから全ての自然数を足した数は自然数ではない。

同じように、自然数の中の偶数を全て足した数も自然数ではないことになります。ただ自然数でなければ偶数でもありえないかというと、そうでもありません。たとえば−２のような負の数は自然数ではないけれど偶数です。つまり自然数ではない数であっても偶数でないとも言い切れません。

２個ずつのペアをいくつ足していっても偶数が奇数になることはないので、たとえ２個のペアが無限に集まったものであっても偶数という性質を持つと考えることもできなくはありません。そう考えると、全ての偶数を足した数もやはり偶数だということになります。

どうように自然数の個数も偶数であるということになります。自然数を１と２、３と４のように２個ずつのペアにして数えていけば、どこまで行っても偶数なので全て数えたとしても偶数だからです。
でも、最初に１をよけておいて、２と３、４と５のように数えていくと最初の１以外を全て数えたものが偶数で、それに１の１個を足したから奇数になると考えることもできます。
さて自然数の個数は偶数でしょうか、奇数なんでしょうか。