0.999…=1? - Log of ROYGB

人力検索はてなの質問http://q.hatena.ne.jp/1152759792/の回答で紹介されていたhttp://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8Eの「0.999...が1に等しいことの証明」に関することです。0.999...=1という証明に対して反論してみます。

$\large \begin{eqnarray}0.009\cdots&=&\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots\\&=&-9+\frac{9}{1}+\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots\\&=&-9+9\times \sum_{k=0}^\infty\left( \frac{1}{10} \right) ^k \\&=&-9+9\times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}\\&=&1.\end{eqnarray}$

これは
$\large -9+9\times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}$
の次で１にしてしまう所にごまかしがあります。順をおって計算してみます。
$\large \begin{eqnarray}&=&-9+9\times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}\\&=&-9+9\times \frac{1}{0.9}\\&=&-9+9\times 1.111\cdots\\&=&-9+9.999\cdots\\&=&0.999\cdots\\\end{eqnarray}$

結局0.999…=0.999…ということを証明しているにすぎません。

$\large \begin{eqnarray}x&=&0.999\cdots\\10x-x&=&9.999\cdots-0.999\cdots\\9x&=&9\\x&=&1\\\end{eqnarray}$

この証明が正しいとしたら、ｘの値を別のものにした以下の証明も正しいということになります。
$\large \begin{eqnarray}x&=&\cdots999\\10x-x&=&\cdots9990-\cdots999\\9x&=&-9\\x&=&-1\\\end{eqnarray}$
つまり、…999=-1であるならば、0.999…=1も正しいということです。

実数の性質を用いて証明することも可能である。0.999...と1を異なる二つの実数であると仮定すると、実数の性質により、区間(0.999..., 1)には無数の実数が存在することになる。しかし、実際そのような実数は存在しないので、仮定は偽であることが分かる。故に、0.999...と1は等しい。

0.999…と1を異なる二つの実数であると仮定すれば、その間にある無数の実数を作り出すことができます。例えば0.999…のルートです。
$\sqrt{0.999\cdots}$

また、数直線を２つに切断した場合に、その切断面にあらわれる実数について考えて見ましょう。２つの切断面に現れる２つの実数が異なる２つの実数だとしたらその間に無数の実数が存在するということでしょうか。それとも２つの切断面にあらわれる実数は等しいとするのでしょうか。

ある数字を9で割ると、その数字が循環するような小数を得ることが出来る。
1 / 9=0.111…
2 / 9=0.222…
（中略）
8 / 9=0.888…
ここで
9 / 9 = 1 / 9 + 8 / 9
= 0.111… + 0.888…
= 0.999…

である。しかし任意の数をそれ自体で割った商は1である。故に0.999... = 1。

11/9や12/9を考えれば、ある数を9で割った場合に、その数が循環するとは限らないことがわかります。

以上の話は0.999…≠1ということを意味しているのではもちろんありません。