Log of ROYGB

はてなダイアリーが廃止されるので、引っ越しました。

グラフで見るローレンツ変換6

光の速度は観測者によらず一定であるという光速度不変の原理は、相対性理論の基礎をなしています。*1しかし速度は一定ではあるものの、静止時と移動時では移動する距離は変わってしまうというのは、あまり知られていない気がします。
宇宙船の出発地点からの光1と5光離れた場所から逆方向に進む光2を考えます。

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図1:逆方向に進む2つの光

この2つの光の移動をグラフで表します。

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図2:逆方向に進む2つの光の軌跡

時間が0から5に変化するときに、光1は0から5に進み、光2は5から0に進みます。時間の単位は秒で、距離の単位は光秒なので、どちらも5秒で5光秒すすんでいます。速度はもちろん同じで、移動する距離も同じです。
これが宇宙船視点でのローレンツ変換後だとこうなってしまいます。

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図3:ローレンツ変換後の2つの光

ぱっと見ただけで2つの光をあらわしている線の長さが違うことがわかります。速度である線の傾きは変わっていませんが、線の長さは変わっています。

光1は2.89秒で2.89光秒進み、
光2は8.66秒で8.66光秒進みます。

静止状態からみるとどちらの光も5秒で5光秒進んでいたので、それが変化してしまっていることになります。ローレンツ変換で変化しないのは光の速度だけで、時間や距離は変わってしまうのです。

光速度不変の原理は観測者の速度によらず成り立つが、光の移動距離は観測者によって変わる。

 

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*1:光速度不変と相対性原理の2つだけを仮定することでローレンツ変換の式を導き出すことができる。

グラフで見るローレンツ変換5

今回はローレンツ短縮があるのだというのを、ローレンツ変換から導き出してみようと思います。
場面としては静止している基準点と、1光秒づつ離れた2つのステーションがあり、光速の半分で動いている宇宙船がいます。

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図1:基準点と2つのステーションと宇宙船

グラフにするとこうなります。横軸は時間で単位は秒。縦軸は基準点からの距離で単位は光秒です。

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図2:基準点からみたステーションと宇宙船

基準点から1光秒ステーションの距離は1光秒で、1光ステーションから2光秒ステーションまでの距離も1光秒です。そう配置したのだからあたりまえですが、これを0.5光速で進む宇宙船を基準にしてローレンツ変換するとこうなります。

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図3:宇宙船基準でのステーション


この場合に基準点から1光秒ステーションまでの距離は約0.87光秒です。1光秒ステーションから2光秒ステーションまでの距離も同じ。
つまり静止状態だと1光秒だった距離が、移動視点からだと約0.87光秒になったのだから約0.87倍になったわけです。この0.87倍というのがローレンツ短縮の式から求まる値で、宇宙船から見たステーションの間隔は確かにローレンツ短縮しているということになります。

前回の1光秒はなれて進む二隻の宇宙船の場合と違う結果になるのは、二隻の宇宙船の距離を半光速で進んでいる時点でのものを使ったからだと考えられます。静止状態で1光秒の距離であることと、半光速で動いている時に1光秒の距離であることは違うのでしょう。
ちなみにステーション間の距離を光の移動時間で計算すると0.58光秒と1.73光秒と前々回の宇宙船間の距離とも違う値になるので、これも違うのだという傍証になるでしょう。*1

ローレンンツ短縮が確かに存在するということは、光の速さに近づくにつれて長さが縮むということです。現代の技術でも粒子加速器で陽子などを光速に近い速度にすることは可能ですが、加速器の中での粒子は縮んでいるのでしょうか。

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図4:加速された粒子は縮むのか

もっと考えれば光の速度で進む光子は球状ではなく、前後にペチャンコな円板の形なのでしょうか。









*1:宇宙船間の距離との比はどちらも約1.16になるので、ローレンツ変換後の宇宙船間の距離が約1.16光秒になるのと関係してると思います。

グラフで見るローレンツ変換4

前回は1光秒離れて進む二隻の宇宙船の距離を、光を使って確認しました。

宇宙船1から発せられた光が宇宙船2まで届くのにかかる時間:2秒
宇宙船2から発せられた光が宇宙船2まで届くのにかかる時間:約0.67秒

 という、どちらからはかるかによって光の届く時間は変わり、光が届く時間で計算した距離も変わってしまいます。
こんどは宇宙船視点のローレンツ変換後のグラフで考えて見ます。

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図1:1光秒はなれて半光速で進む二隻の宇宙船と光

宇宙船視点なので、宇宙船は動いていません。そしてグラフからみた二隻の距離は約1.16光秒です。
宇宙船1から2まで光が届く時間も約1.16秒で同じになります。
逆がどうなるかを考えるために、宇宙船2に到着した時点で光の向きを逆にしたグラフにします。

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図2:宇宙船1から発射した光を宇宙船2で反射させる

逆方向の光の移動距離はこれまでになく多くなり、そのままだとグラフをはみ出してしまうので目盛りを修正しました。光の速度はどちら向きでも同じですが、静止状態での1秒あたりに進む距離というのはローレンツ変換後では異なる値になるという不思議な現象が確認できました。
宇宙船2から1まで光が届く時間については約1.16秒となります。

つまり、
宇宙船1から発せられた光が宇宙船2まで届くのにかかる時間:約1.16秒
宇宙船2から発せられた光が宇宙船2まで届くのにかかる時間:約1.16秒

 となり、どちらから光が発せられたかにかかわらず同じ時間なので、光の移動時間から計算される距離も同じということになります。
だからローレンツ変換後に出てきた宇宙船1と2の距離は、約1.16光秒ということです。
ローレンツ短縮の0.87倍とは逆に、距離が1光秒から長くなっています。そしてローレンツ短縮の0.87倍というのはどこにも出てきません。
しかしローレンツ短縮が嘘なのかというとそうでもなく、次回はそれを説明する予定です。



グラフで見るローレンツ変換3

今回は宇宙船の長さが縮むローレンツ短縮が本当にあるのかについて。
前回ものせた1光秒はなれた宇宙船が移動する様子をグラフにしました。1光秒はなれて進む宇宙船同士の距離は1光秒で、これは半光速で移動していても変わらないみたいです。だとするとローレンツ短縮は存在しないのでしょうか。

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図1:1光秒はなれて進む二隻の宇宙船と光



宇宙船間の距離を光ではかってみます。時間0秒の時に宇宙船1と同じ場所から発射された光は2秒の時に宇宙船2に追いつきます。宇宙船1から宇宙船2まで光で2秒かかるということは長さは2光秒になるのでしょうか。
逆に宇宙船2から光を発射したらどうなるでしょう。

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図2:宇宙船1から発射した光を宇宙船2で反射させる

2秒の所で進む方向が逆になり宇宙船2から1へ向かう光は、約0.67秒後に宇宙船1に到着します。光が0.67秒で到着したということは、宇宙船2から1までの距離は0.67光秒でしょうか。

宇宙船1から発せられた光が宇宙船2まで届くのにかかる時間:2秒
宇宙船2から発せられた光が宇宙船2まで届くのにかかる時間:約0.67秒

このようにどちらからどちらに向けて光を発するかで、届くまでの時間が変わってしまいます。
往復でかかる時間で考えて平均にすると約1.33秒です。
ちなみにローレンツ短縮の式は√(1ー(v/c)^2)なので、v=0.5cから計算結果は0.87となります。これは静止状態で1光秒の長さだったものが、0.5光速で移動している場合には長さが0.87倍になるということです。
しかし上のグラフから考えると、そうはならないのです。
これは加速を考えていないからだ。という理由も考えてみたのですが、どうも関係なさそうです。
たとえば地球と月に粒子加速器を設置して、同じタイミングで0.5光速に加速された粒子を発射した場合には、上のグラフのようになるはずだからです。

グラフで見るローレンツ変換2

表計算ソフトを使ったグラフでローレンツ変換を理解しようとする試みの続きです。今回は二隻の宇宙船が出てきます。

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図1:二隻の宇宙船の出発時の配置

こんな感じで基準点の宇宙船1と、1光先にいる宇宙船2が同時に出発します。今回も速度は半光速です。
グラフにするとこんな感じです。前と同じように横軸は時間で単位は秒。縦軸は位置で単位は光秒です。

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図2:二隻の宇宙船の移動のグラフ

光は宇宙船1と同時に発射されて、2秒後には宇宙船2に追いついています。

次にローレンツ変換をしたグラフです。

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図3:ローレンツ変換をした宇宙船1視点でのグラフ

宇宙船1の視点なので、宇宙船1の位置は0のまま変わりません。宇宙船2も相対速度が0なので位置関係はかわりませんが、時間が少しずれていることがわかります。
宇宙船2の位置は約1.16で、これが宇宙船1との距離になります。
静止している状態だと二隻の宇宙船の間隔は1光秒だったのが、ローレンツ変換後は約1.16光秒と、少し広がっています。これは不思議なことです。

ローレンツ短縮という、ローレンツ変換を単純化して長さを求めるやり方があります。そのローレンツ短縮だと光の速度に近づくにつれて宇宙船の長さが短くなります。
宇宙船1と2を長い宇宙船の先端と船尾だと考えると、ローレンツ短縮がはたらいて長さが短くなるはずです。しかしローレンツ変換で計算した結果だと1.16光秒と広がってしまいます。これはどうしてなんでしょう。




 

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グラフで見るローレンツ変換

前回に引き続いてローレンツ変換を理解する為にエクセル*1を使ってグラフを作ってみました。

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図1 静止状態でのグラフ 横軸は時間(秒) 縦軸は位置(光秒)


わかりやすさのために時間軸と位置の軸もデータとして表示させてみました。これらは同じ位置で動かない物体の1秒毎の状態、基準点から1光秒ずつ離れた位置にある宇宙ステーションのように具体的な物として考えることも可能です。
移動体の速度は半光速なので、2秒で1光秒動いています。
これをローレンツ変換すると、移動体から見た状態になります。

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図2 移動体基準でローレンツ変換をした後

移動体基準なので、移動体は時間が経過しても位置が変わりません。代わりに、前は動いていなかった「時間:X/C」が動いています。下向きの斜めなので、基準点の後方に遠ざかっていくわけです。
また静止視点からは時間0で1光秒ずつ離れていた「位置:X/C」は遠くにあるほど過去になってしまいます。
変換後の状態でも光は1秒あたり1光秒進むという光速度不変を維持していて、ローレンツ変換の前でも後でも光の速度は同じであるというのが重要なポイントです。これは光速度が変わらないという仮定からローレンツ変換が導き出されているのであたりまえのことでもあります。
ただし、静止状態では5秒で5光秒進んでいた光は、移動体視点だと約2.9秒あたり約2.9光秒進んでいるとなります。これは移動体の時間の遅れによるものだけではありません。移動体自身の時間は、静止状態での5秒が約4.3秒になっていて、これは時間の遅れを求める式√1ー(v/c)^2から求まるので理解は容易です。*2
では光の2.9秒はなにかというと、次のグラフを見てください。

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図3 移動体視点に静止時での5秒のラインを追加

追加したのは静止状態では「位置:X/C」と同じように同じ時間で1光秒ずつはなれたポイントで、時間が5秒のときのものです。
この5秒の時間のラインが、光と移動体と時間の先端を結んでいます。これはローレンツ変換前はどれも5秒だったので当然ですが、ローレンツ変換後も直線状にはなっているわけです。
こうやって実際の数字などを入れてローレンツ変換を行った後でどうなるのかというのを見ていると、だいたいどんな感じなのかというのがわかってくるような気がします。





*1:実際に使ってるのは互換ソフト

*2:時間の遅れは進行方向と直角の向きに往復する光の移動距離を静止と移動視点から考えて、あとは三平方の定理で求められる。

ローレンツ変換をエクセルでやってみる

少し前に見た匿名ダイアリーでこういうのがありました。

anond.hatelabo.jp
これは宇宙船から見ると時間が変わるというのがわからないのかなと思ってブックマークコメントもそんなことを書いたのですが、では実際にどうなんだろうと考えたらよくわからなくなりました。そこでためしに計算してみようとして、面倒なので表計算ソフトを使いました。
まず地球基準で考えます。月までの距離は1光秒で、移動する物体の速度は0.8光測にしてあります。作成したシートでは、ここの値を変えることで他の値が計算されて出てきます。

地球基準        
  移動体の速度:v/c 0.8    
         
時間:t 光の軌跡 移動体 地球
0 0.00 0 1 0
0.25 0.00 0.2 1 0
0.50 0.25 0.4 1 0
0.75 0.50 0.6 1 0
1.00 0.75 0.8 1 0
1.25 1 1 1 0


地球が基準なので位置は0で、月は1光秒先なので1のままです。移動体は0.25秒あたり0.2光秒進むので、1.25秒で月に到着します。
遅れて発射する光は移動体と同時につくように、0.25秒遅らせて発射。
それをグラフにしたのが下のもの。横軸が時間で、縦軸が距離。単位は秒と光秒。

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移動体が地球から月へと移動する後から光が追いかけるのがわかると思います。
次に、これを宇宙船視点で考えて見ます。

移動体基準に変換(ローレンツ変換

地球時間 地球位置 光:t' 光:X' 移動体:t' 移動体:x' 月での時間 月の位置
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -1.333 1.667
0.417 -0.333 0.417 -0.333 0.150 0.000 -0.917 1.333
0.833 -0.667 0.500 -0.250 0.300 0.000 -0.500 1.000
1.250 -1.000 0.583 -0.167 0.450 0.000 -0.083 0.667
1.667 -1.333 0.667 -0.083 0.600 0.000 0.333 0.333
2.083 -1.667 0.750 0.000 0.750 0.000 0.750 0.000


ローレンツ変換すると、位置だけでなく時間も変わってしまい別々になるので、それぞれの時間と場所を求めています。移動体基準なので、移動体の位置は0のままになり、地球や月が動くことになります。
移動体時間で出発の0.75秒後に月に到着して、光にも追いつかれます。緑色にしたマスでは光、移動体、月の時間と位置が同じであることからそれがわかります。
グラフにするとこんな感じです。横軸は移動体での時間で、縦軸は移動体基準での位置。

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時間についてもグラフにしてみます。出発時は移動体と光、地球の時間が同じで、到着時は地球ではなく月と同じ時刻になるわけです。地球と月の時間は、約1.333秒ずれていることになります。

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こうやってグラフにしてみると、光の速度に近くなると時間の進み方や長さが変わるというのだけでなく、ある場所と別の場所で同じ時刻なのかどうかという同時性も変わることが見てわかるような気がします。
ここで使ったローレンツ変換は、光の速度がどの観測者からみても同じであるという仮定から導かれるもので、特殊相対性理論の前半にそういったことが書かれています。