７は孤独にして

１から１０までの数を２組に分けて、それぞれの組で掛け合わせた答えが同じになるようにすることはできるか。

たとえば１、２、３、４、５と６、７、８、９、１０に分けたとすると、

１×２×３×４×５＝１２０
６×７×８×９×１０＝３０２４０

となって全然違う。
でも１０を別の組に移すと、

１×２×３×４×５×１０＝１２００
６×７×８×９＝３０２４

と少し近い値になる。
こういった作業を続けていって、両方とも同じ値にすることができるかどうか。
答えから先にいうと、どんな組み合わせにしても同じ数にはならない。どうしてなのかというと、片方は７を含むので７の倍数になるが、もう片方は７を含まないので同じにはならない、という説明がある。この説明で納得する為には、素因数分解というものを理解している必要がある。ある数の素因数分解は一通りに定まり、素因数分解した結果が同じならばもとの数も同じである。

７を除いた１から１０までの数を２組に分けて、それぞれの組で掛け合わせた答えが同じになるようにすることはできるか。

できる。

１×２×３×４×５×６×８×９×１０＝５１８４００

となり、

√５１８４００＝７２０

なので、積が７２０になるように分ければいい。
７２０を素因数分解すると、２、２、２、２、３、３、５となるので、それをふまえていると分けやすい。
たとえば、
２、５、８、９の積は７２０になるし、残りの１、３、４、６、１０の積も７２０と同じ値になる。分け方は何種類かあり、これは１がどちらにあった場合でも積は変わらないことからもあきらか。

７より小さい数と大きい数に分けた場合も積が同じになる。

１×２×３×４×５×６＝８×９×１０＝７２０