http://www.hyuki.com/d/200706.html#i20070613102030の「ルートの無限入れ子クイズ」に関して。
この数式の値が、ある正の値に収束すると仮定すると簡単に求まるというのはリンク先に書いてあります。そこで考えたのは、条件を収束しないようには出来ないだろうかということです。つまり、収束すると仮定すると簡単に解けるように思えるけれど、実は収束しないという問題は考えられないか。
最初は、簡単に収束しないようにできるのではないかと思いました。2をもっと大きな数にすれば発散するのではないかと考えたのです。
しかし、計算していくとどうも収束しそうです。自然数ではなく有理数の場合も考えてみました。
1より小さくても収束するのは不思議な感じです。
収束すると仮定した場合の解法から考えると自然数や有理数だけでなく、無理数の場合でも成り立ちそうです。
代数的な数ではない超越数でも成り立つのでしょうか。
そうすると任意の正の数xにおいて成り立つと言えるのでしょうか。収束するという前提に立てば、計算結果に矛盾はでませんが…。
