昨日に引き続き、ルートの入れ子クイズに関連した話です。今日は、数列の初期値を変えることで発散させることが出来ないかためしてみます。
数列a(n)が、
a(1)=√2, a(2)=√(2√2), a(3)=√(2√(2√2)), …
で与えられた場合に、前項を用いて次のようにかくこともできます。
a(1)=√2, a(2)=√(2a(1)), a(3)=√(2a(2)), …
この初項a(1)の値を変えてみるとどうなるでしょうか。
a(1)=2 の場合にはすぐに収束してしまいます。2以下の場合も収束するだろことが予想されます。
では2以上の場合はどうでしょうか。
例えば、
a(1)=4
の場合には発散するのではないかと考えました。しかし、計算をしてみるとこの場合でも収束してしまいます。もっと大きな数から始めたとしても同じです。そこで、数列をさらに変化させて次のようにしました。
a(1)=1, a(2)=√(2√2), a(3)=√(3√(3√3)), …
この数列は、収束するでしょうか。それとも、発散するのでしょうか。
