数学の問題の問題３
数学の問題に関する話。今回は「フェルマーの定理」について。
ｎが２よりも大きい自然数の場合には
Ｘ＾ｎ＋Ｙ＾ｎ＝Ｚ＾ｎ
は自然数解Ｘ，Ｙ，Ｚを持たないというのがフェルマーの定理です。ちなみに自然数には０からとする定義と１からとする場合と０からとする定義がありますが、この説明では１からとしないとX=Y=Z=0の場合にはどんなnでも式が成立してしまいます。
ｎが２の場合はピタゴラスの定理の式になり、自然数解も存在します。*1この場合の自然数解をピタゴラス数と呼ぶそうですが、それほど特別視してはいないような気がします。直角三角形の辺の長さの比率を表すというのがピタゴラスの定理なのだから、フェルマーの定理のように自然数解だけにこだわっているわけではないのでしょう。
ではフェルマーの定理は、ピタゴラスの定理が直角三角形の辺の長さの比率であるように、何か対応するものがあるのでしょうか。ｎ＝２が面積なのだから、ｎ＝３なら体積というのは簡単に思いつきますがそれでは自然数である意味が見つかりません。それでもピタゴラスの定理の整数解の場合に、１辺がＸの正方形と１辺がＹの正方形を、１辺が１の正方形に分割して組み合わせることで１辺がＺの正方形にすることが出来るといった考え方ができるように、立方体で考えることも出来なくはありません。
自然数解にこだわらなければｎ＝３であっても、Ｘ＾ｎ＋Ｙ＾ｎ＝Ｚ＾ｎを満たす解は存在します。*2この場合の解は実数というか無理数になるのではと推測されます。もし有理数解が存在するとしたら、それに分母の数をかけることで自然数にすることができるので、自然数解が存在しないとしたら有理数解も存在しないはずだからです。
ブルーバックスの「フェルマーの大定理が解けた」という本には、与えられた自然数ｎを２つの自然数の和として求める問題が出てきます。そしてこれは専門家でも難しいという説明があります。その一方で有理数解なら高校生レベルだとも書かかれてます。整数解が難しくて、有理数解が簡単というのが面白いなと感じました。
その辺から、フェルマーの定理も整数解でなければ存在するし求めることもできるというのを思いつきました。それにどんな意味があるかというと、別に無いような気もしますが何か面白いと感じます。
フェルマーの定理はワイルズによって証明されていて、これは谷山=志村=ヴァイユ予想を使っているそうです。この予想は楕円関数に関するもので、楕円関数に使われるのは複素数というのがまた不思議な感じです。
つまりフェルマーの定理は、整数解を求めるから難しいのだけれども、その証明には複素数が使われているというわけなんです。
