数学の問題に関する話。今回は人力検索はてなの質問から。
パズルに挑戦 No.2
以下のパズルを解けた人、どのように解いたかを 教えてください。
★★★魔方陣パズル★★★
数字は 1から25まですべて使い 縦、横の合計が それぞれ65になればいいです。
(すべて使うので重複することはありません)
斜めは 関係ありません。
空いてる箇所にいくつの数字が入るかをといて、そのときかたを 教えてください。
どのようにして といたのかが重要です。プログラムなどはナシです。画像のほうを 参考にして 下のは 回答用に使ってください。
(空いてる箇所は、アルファベットを入れてありますので、回答に使ってください)なお、回答の文字数が 足りなければ コメントを使ってもいいです。
10_ a_ 9_ b_ c
http://q.hatena.ne.jp/1209637493
d_13_ e_24_ f
11_ g_25_ h_21
i_17_ j_ 2_ k
14_ m_12_ n_ p
まず、合計が６５になるというのが有り得るかというのを考えました。縦の合計が６５で、それが５列あるのだから合計すると６５×５で３２５になります。横の合計も６５だから５行で３２５です。どちらの場合も、使っている数を全て足した物が３２５になるというわけです。
では１から２５の数を足したらいくつになるかというと、これも３２５です。ここまでは問題無さそうです。
次に、縦と横の合計が全て６５になる場合が存在すると仮定します。そうすると、その状態から行や列を入れ替えてもやはり合計は６５のままです。その場合に何通りになるかを考えます。まず列の場合で、５×４×３×２だから１２０通りになります。でも鏡に映すと同じになる場合を除くと２分の１になるので６０通りとします。行の場合も同じく６０通りです。列と行は独立に変えることができるので、場合としては６０×６０で３６００通りとなります。
もし一つでも縦と横の合計が全て６５になる場合が存在すれば、あと３５９９通りが存在します。
それ以上はどうなのでしょうか。行や列の５つの数字の組み合わせが他にもあれば、もっと別の並べ方が存在することになります。行や列を入れ替えた場合には、５つの数字の組み合わせはかわらないからです。
解が１つでも存在するということは、５つの数字の合計が６５になる組み合わせが最低でも１０個はあるということになります。
合計が６５になる組み合わせがもっと存在した場合でも、それが使えるかどうかはわかりません。数字の組み合わせを５組選んだ場合に、１から２５までの数字を重複無く使っていなければいけないというのが一つ目の条件。もうひとつは、選んだ５組のそれぞれから１つづつ数字を取りだして作った組み合わせでも合計が６５になるという条件で、これを満たさないと使うことが出来ません。
ちなみに最初に引用した質問とその前のhttp://q.hatena.ne.jp/1209379680にある質問の回答では、違う数字の組み合わせになるようです。他にも斜めの合計も６５になる通常の魔方陣の場合が最低１つあるのでこれだけでも３つの独立な解が存在していて、それぞれに３５９９通りの別解が存在します。多分もっと沢山の解が存在するのだろうけど、それを求める方法や何通りあるのかを求めるのさえ手に余ります。
５×５の升目でなく、３×３ならかなり簡単になりそうです。この場合は斜めの合計も１５になる魔方陣と、その８つの別解しか無さそうだから簡単になりすぎかもしれませんが。
