代数的数

http://materia.jp/blog/20070327.html#p01の「prima materia diary - なぜこの方程式は解けないか」を読んで考えたこと。

その次に、数学における方程式の扱われ方、成果が書かれる。
2次方程式の解法――解の公式を憶えさせられた記憶を持っているだろう。
3次方程式、4次方程式までは解の公式が導き出される。

http://materia.jp/blog/20070327.html#p01

5次方程式には一般解が無いというのはリンク先にもかかれていますが、3次や4次でも人によっては解が無いも同然かなとおもいました。いや、単に自分がそうだということですが。2次方程式ならば、自力で解の公式を求めることはできますが、3次や4次などはとても無理です。低次の方程式に因数分解できればなんとかなります。しかし、因数分解が出来る場合ばかりではないので、そういうときは因数分解が何の役に立つのかと思ったりして。
3次方程式の解の公式どいえば、虚数が出てきます。出てくるだけなら2次方程式の解でも出てきますが、3次方程式の場合は解が実数であるにもかかわらず計算の途中に虚数が出てくるのです。このことから、虚数というものの存在が認められたようです。

5次方程式に一般解が無いというのも自分では証明できませんが、このことを知ったときに疑問に思ったことがあります。それは5次方程式やそれ以上の高次式の解で、四則演算や根号を使って表記することの出来ない物も代数的数というのかというものです。代数的に解けないのに代数的数と呼ぶのも変な感じですが、代数方程式の解という意味では代数的数と呼んでもいいようにも思います。今回調べたところでは、5次以上の方程式の解が代数的に解けない場合でも代数的数と呼ぶようです。