１から１０までの数字を２つのグループに分けて、各グループの数を全て掛け合わせた積が同じになるように出来るかという問題が「すべてがＦになる」という小説に登場します。
出来ないということを簡単に納得させることができるエレガントな回答が作中の人物によってなされています。そして１から１６までの数字の場合でも出来ないであろうことも示唆されています。
それでは１からｎまでの数字で、出来る場合があるでしょうか。
出来ないだろうというのが、今のところの判断です。もう少し条件をゆるくしてｍからｎまでの数字としても出来ないだろうと思います。
- 任意の自然数ｍとｎにおいて、ｍからｎまでの数字を２つの組に分け、各組の総積が同じようにすることは出来ない。（ｍ＜ｎ）
任意の数を自由に選らんでもよければ、（２，３，４，６）を（２，６）と（３，４）に分ければどちらの組も積は１２になります。でもこれは続いている数ではありません。２から６までだと（２，３，４，５，６）になりますが、これをどう分けても積は同じになりません。５を含む方の組の積は５の倍数になりますが、５が無い方は５の倍数ではありえないからです。
数を１０までにすると、５を含む組と１０を含む組のどちらも５の倍数になります。要は素数が１つだけ含まれる場合は、どちらかがその素数の倍数になり、もう片方は倍数にならないので同じ数にはなり得ないのです。（２，３，４，６）の場合は、２と３が素数ですが、４と６がその２倍の数なのでうまく分けることでどちらの組も２や３の倍数であるように出来ます。それが出来たからといって同じ数になるとは限りませんが、出来なければ必要条件を満たさないわけです。
以上から、ｍからｎまでの数字を２つ組に分け、各組の総積が同じになることがあるとすると以下の条件を満たす必要があります。
- ｍからｎまでの数字に素数ｐが存在する場合、２ｐも存在する必要がある。
この条件を満たさないと、２つに分けた片方にだけｐが存在することになるので各組の総積の片方はｐを素因数に持つがもう片方は持たないので同じ数にはなり得ません。
ところで、以下のような仮説が成り立つ場合はどこまでいっても上の条件を満たすことができません。
これは単なる仮説で証明はできていません。でも２と４の間には３が存在するし、３と６の間には５が存在するといったように具体的な数を使って検算すると、何となく確からしいように思えてきます。この仮説が証明できれば、ｍからｎまでの数字を２つの組に分け、各組の総積が同じようにすることは出来ないというのも証明されることになります。わりと簡単に証明できそうな気もするし、ものすごく難しいかもしれません。
ちなみに範囲を自然数から整数に広げてｍが負の数、ｎが正の数とした場合にはｎからｍまでの数を、各組の総積が同じになるように２つに分けることが出来ないことは容易に証明できます。
（２８日追記）
コメントで教えてもらいました。“ある素数ｐと、その２倍の２ｐの間には必ず別の素数が存在する”というのはすでに証明されているようです。
wikipedia:ベルトランの仮説
そうするとｍからｎまでの数字を２つに分ける場合の問題はこれで解決かというと、素数を全く含まない場合もあるというのが抜け落ちてていました。
（さらに追記）
そういえば同じことを考えている人もいるんだろうと思って検索してみました。１から１０の場合は、小説に出てくる問題なので沢山見つかりました。
これは前に読んだことがあると思います。積が等しくなる必要条件についても書かれて、数を増やすことで可能にならないかも少し検討されています。
http://www.hyuki.com/d/200507.html#i20050731214806 [結] 2005年7月 - 結城浩の日記
こちらのエントリーは１からｎまでに関して考えられています。私の知らなかった素数の性質をつかって、ｎの場合でも成り立たないことを証明しています。
http://wkpn.net/blog/2006/07/1_2.html したっぱプログラマーの日記 1から１０の数字の中で孤独なのは？
