http://www5a.biglobe.ne.jp/~sunomono/iro0164.html#20070210144643の「超実数体の空でない部分集合は有界であっても上限をもつとは限らないんだ」に関して。
超実数体の空でない部分集合は有界であっても上限をもつとは限らないんだ
無限小実数全体の集合 A の上限がもしあったとする。それは正の数である。もしもそれが無限小実数なら、その二倍が A に属するから矛盾。もしもそれが無限小実数でないなら、その半分も A の上界だから矛盾。2007-02-10 (6) 23:46:43 +0900
http://www5a.biglobe.ne.jp/~sunomono/iro0164.html#20070210144643
上界があるのに上限がないというのが興味深いと思いました。これとは逆に、下界はあるのに下限が無いという場合もあるだろうかと考えてみました。無限大実数の集合がそうなるのかな。もし下限があったとしたら、それが有限の数でも無限の数でも矛盾が生じます。
しかし、上限や下限が存在しないのも矛盾というか不思議な感じがします。
そうか、無限小実数全体の集合は、上限だけでなく下限も持たないんだ。
前に書いた物へのリンク
1より小さい最大の実数
