条件付き確率と封筒問題２

封筒問題の興味深いところは、封筒の中が１００円だったらという一見中立的な仮定によって、条件が変化してしまうというところでしょう。
封筒の中身が１００円だったということは、

• ５０円の封筒と１００円の封筒から１００円の封筒を選んだ場合
• １００円の封筒と２００円の封筒から１００円の封筒を選んだ場合

の２通りです。
５０円の封筒と１００円の封筒が存在した場合には、１００円の封筒を選ぶのと同じ確率で５０円の封筒を選ぶ場合もあるし、１００円と２００円の封筒の場合も同様です。
つまり

1. ５０円の封筒と１００円の封筒から５０円の封筒を選んだ場合
2. ５０円の封筒と１００円の封筒から１００円の封筒を選んだ場合
3. １００円の封筒と２００円の封筒から１００円の封筒を選んだ場合
4. １００円の封筒と２００円の封筒から２００円の封筒を選んだ場合

の４通りの場合が存在します。
このとき、封筒の中身の期待値は１２５円です。最初に選んだ方でも、後に選んだ方でも、交換してもしなくても同じ１２５円です。
そこから、１００円の封筒を選んだ場合だけを抜き出して考えると、交換したほうが得になります。１００円の封筒を選ぶということによって、４通りから２通りへと条件を変化させたことによって、期待値も変化したということです。