http://d.hatena.ne.jp/pashango_p/20090803/1249277168の「【回答編】はてな民に確率の問題を出してみよう - Pashango’s Blog」の条件付き確率に関連して封筒問題というのを連想しました。
封筒問題というのは、２つの封筒があって、片方にはもう片方の２倍の金額が入っている。最初にどちらかの封筒を選んで、中を見てから別の封筒に交換することができるが、交換したほうが得かどうか。
中を見ない場合なら、交換してもしなくても同じだろうというのは説明する必要はないでしょう。問題は、中を見てからという点です。
例えば、最初に選んだ封筒に１００円が入っていた場合、もう一つの封筒には５０円か２００円が入っていることが推測されます。どちらも同じ確率であると仮定すると、期待値は１２５円になります。だから交換したほうが良い。
これは最初に考えた交換しなくても同じという直感とは食い違いますが、封筒の中身を見るという行為によって確率が変化した条件付確率だと考えることもできそうです。でも、それでいいでしょうか。
選んだ封筒に入っている金額が幾らであった場合でも、上の説明は成り立ちます。１００円でなく、２００円でも１０００円であっても、封筒を交換したほうが得です。中身を見た場合の金額に関わらず交換した方が期待値が高くなるのだから、中身を見るまでもなく交換したほうが良いとなりそうですが、これは少し変です。最初にどちらの封筒を選んだとしても、交換したほうが得だなんてことがあるのでしょうか。それに、いったん交換してからもう一度同じ考え方を適用すると、また交換したほうが期待値は高くなるということになり、これまた矛盾しています。
以前にも同じようなことを書いていますが、明確な解答はどちらにもありません。
「期待値」
「封筒問題」
中身を見ない場合でも、最初に選んだ封筒から交換したほうが得になるというのは明らかに変です。ただ、どこが変なのかを説明するのは難しいし、説明を納得してもらうことも難しいでしょう。
無限の状態を定義することによって生じる問題。という説明ではどうでしょうか。片方の封筒に、もう片方の２倍の金額が入っているという条件が、無限の状態を生み出しています。有限の状態ならば、矛盾は発生しません。
- ５０円の封筒と１００円の封筒
- １００円の封筒と２００円の封筒
- ２００円の封筒と４００円の封筒
- ４００円の封筒と８００円の封筒
- ８００円の封筒と１６００円の封筒
例えばこの５つの状態しかない場合で考えれば、矛盾は生じません。
でも、封筒を開けて１００円入っていた場合は、交換した場合の期待値は１２５円になることは変わりません。２００円の場合でも交換したほうが良いし、４００円の場合や８００円の場合でも同じです。他の場合が違います。
