封筒問題

問題

封筒が２つあり、片方にはもう片方の２倍の金額が入っている。最初に選んだ封筒を、もうひとつの封筒と交換したほうが良いか？

解答１

交換したほうが良い。

最初に選んだ封筒に入っていた金額をｘ円とする。
問題の定義よりもう片方の封筒には０．５ｘ円か２ｘ円が入っている。
０．５ｘ円と２ｘ円を平均した交換した場合の期待値は１．２５ｘ円で、これは最初のｘ円よりも多い。
ゆえに交換すると得られる金額の期待値が大きくなるので、交換したほうが良い。

解答２

交換する必要は無い。

２つの封筒に入っている金額を、問題の定義よりｎ円と２ｎ円とする。
最初に選んだ封筒に入っている金額の期待値は、ｎ円と２ｎ円を平均した１．５ｎ円。
もうひとつの封筒に入っている金額の期待値も、ｎ円と２ｎ円を平均した１．５ｎ円。
ゆえに交換しても得られる金額の期待値は変わらず、交換する必要は無い。