相対性理論と時間の遅れ

連休でヒマなので相対性理論について少し書いてみます。
まず普通の運動について。ボールが秒速１メートルで下向きに動いているとします。

もしもボールが落下しているのが電車の中で横向きにも移動しているとすると、下向きの動きと横向きの動きが合わさります。横向きの速度が秒速０．５メートルだとします。１秒間に下に１メートル、横に０．５メートル移動するので、斜めに移動することになり、計算すると１秒で約１．１２メートル移動することになります。計算としては三平方の定理を使って、１の自乗と０．５の自乗を足してからルートを求めます。

それでは光の場合も同じでいいのでしょうか。光の速度は約秒速３０万キロメートルなので１秒ではなく３ナノ秒あたりにして、進む距離を１メートルに合わせます。止まってるときは当然ながら変わりません。ボールは１秒、光は３ナノ秒という違いはあるものの、どちらも１メートル下に移動します。

横向きの移動速度は光の速度の半分にすると、３ナノ秒あたり０．５メートルの移動です。列車ではこんなに早く動けないので、宇宙船としておきます。この場合もボールの時と同じように計算すると、３ナノ秒あたり１．１２メートル進むことになるのですが、これは間違ってます。

なぜかという３ナノ秒で１．１２メートルということは、秒速３３．５万キロメートルで、光の速さを超えてしまいます。
光の速さはいつ誰が見ても同じ３０万キロメートルというのが相対性理論の前提条件で、これは実際の測定結果からも確かです。
ではどうするかというと、時間の方を変えてしまいます。

下向きと横向きが合わさった光の速度が変わらないようにするには時間が少し遅くなる必要があります。どのくらい遅れるかというと、これも三平方の定理で求まります。
今度は斜辺が１なので、１の自乗から０．５の自乗を引いた結果のルートで求まります。約０．８７となるので、外で１秒進む時に、宇宙船の中では０．８７秒しか進まないことになります。そうすると、外から見た斜めの光と、宇宙船内での下向きの光のどちらも同じ速度になります。