フィボナッチ数とべき乗（２）

「フィボナッチ数とべき乗（１）」からの続き。

フィボナッチ数

家に帰ってからフィボナッチ数のことを調べてみた。ウサギの増え方で説明しているのには見覚えがあったので、フィナボッチという名前も読んだことはあったんだろうけど、すっかり忘れていた。

フィナボッチ数は簡単な定義から生成される数列で、
ａ_０＝０
ａ_１＝１
ａ_ｎ＝ａ_ｎ−２＋ａ_ｎ−１
となる。最初の２項を定義してやり、あとは２項の和から次の項が求まるというわけ。
実際に計算すると
０、１、１、２、３、５、８、１３、２１、…
という数列が求まる。
この最初の定義の０と１を、２と１にした数列もあってリュカ数列と言うようだ。他にも２項でなく３項の和から求めていくトリボナッチ数や、４項の和のテトラナッチ数というのもあった。

「モノ、ジ、トリ、テトラ、ペンタ、ヘキサ、ヘプタ、…」

と思わず口に出してしまう。科学の授業に出てきた数を表す接頭辞だが、トリボナッチやテトラナッチという名前はこれを使ったのだろう。とすると、もっと数を増やしていった場合の名前も考えられるか。

「ペンタナッチ、ヘキサナッチ、ヘプタナッチ、オクタナッチ、ノナボナッチ、デカボナッチ、でいいのかな。」

ノナとデカは２文字なのでトリボナッチにならって接頭辞＋ボナッチとした。名前を考えたのだから、実際に数列の計算もしてみることに。表計算ソフトを使ったので計算したというか定義式を入力したのだけど。
ともかく、フィボナッチからデカボナッチまでの数列を表にしてまとめてみた。

フィボナッチ	トリボナッチ	テトラナッチ	ペンタナッチ	ヘキサナッチ	ヘプタナッチ	オクタナッチ	ノナボナッチ	デカボナッチ
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	1	1	0	0	0	0	0	0
3	2	1	1	0	0	0	0	0
5	4	2	1	1	0	0	0	0
8	7	4	2	1	1	0	0	0
13	13	8	4	2	1	1	0	0
21	24	15	8	4	2	1	1	0
34	44	29	16	8	4	2	1	1
55	81	56	31	16	8	4	2	1
89	149	108	61	32	16	8	4	2
144	274	208	120	63	32	16	8	4
233	504	401	236	125	64	32	16	8
377	927	773	464	248	127	64	32	16
610	1705	1490	912	492	253	128	64	32
987	3136	2872	1793	976	504	255	128	64
1597	5768	5536	3525	1936	1004	509	256	128
2584	10609	10671	6930	3840	2000	1016	511	256
4181	19513	20569	13624	7617	3984	2028	1021	512

足す項数が増えるほど最初の０が多くなっているけれど、これはトリボナッチやテトラナッチがそうなっているのを一般化して考えるとそうなる。
大きさの比較をするのには表よりもグラフの方がわかりやすいので、グラフにもしてみた。

グラフの範囲では、テトラナッチが一番大きくなりトリボナッチがそれに次いでいる。足す項数が多い方が大きくなるかというとそうでもないのは、最初の０の項の数も増えてしまうからだろう。
でもトリボナッチなどの数列は、現実にあるものと関係あるのだろうかと考えた。フィボナッチ数列がウサギの増え方や、階段の登り方などに現れるのと同じように、トリボナッチ数列以降もどこかに現れるのだろうか。

（フィボナッチ数とべき乗（３）へつづく）