天秤にかけろ２ - Log of ROYGB

天秤を使った問題では重さが違うけれども重いか軽いかがわからないという条件のものもあります。

１２個の玉に１個だけ他と重さが違う玉がまざっている。天秤を３回使って、どの玉の重さが違うかを見つけるにはどうしたらいいのか。

他よりも重たいとわかっている場合には天秤が傾けば下がったほうに重い玉があることがわかりますが、軽い場合も考えなければいけないと少し難しくなります。
今回も天秤を使う回数を少なくして考えて生きます。まず１回の場合ですが、重いか軽いかがわからないと１回で見つけることはできません。２個の玉を天秤で重さを比べて傾いたとしても、どちらが重いのか又は軽いのかはわかりません。
基準となる玉が別にあれば、２個の玉のどちらの重さが違うのかを見つけることができます。基準の玉と２個のうち１個の重さを比べて、天秤が傾けば重いか軽いかがわかります。天秤が釣り合った場合は、残りの玉の重さが違うことはわかりますが、重いのかそれとも軽いのかはわかりません。

次は天秤を２回使った場合。
４個の玉をＡＢＣＤとおいて、まずＡとＢの重さを比べます。天秤が傾いたらＡとＣを比べて、傾いたらＡ、釣り合ったらＢの重さが違うことがわかります。ＡとＢが釣り合った場合にもＡとＣを比べて、傾いたらＣ、釣り合ったらＤの重さが違うことがわかります。最初の１回で、２個のうちの１個に重さが違う玉があることが判明すれば残りの２個の玉が基準として使えるので、残り１回で重さの違う玉を見つけることができるというわけです。この場合も最後に残った玉が違う重さだった場合には、重いのか軽いのかがわかりません。個数を１個減らして３個にすれば重いのか軽いのかもわかります。

天秤を３回使った場合にも、最初の１回でどの４個の重さが違うのかがわかれば残り２回で重さの違う玉を見つけることができます。８個の玉があった場合に、２個と２個を天秤で比べて傾けばその４個の中に重さの違う玉があり、天秤が釣り合えば残りの４個の中に重さの違う玉があるというわけです。この考え方を進めていけば、天秤の回数が増えた場合にも対応できます。
ところが、実は天秤を３回使った場合には最大１３個の玉から重さの違う玉を見つけることができるのです。
１３個の玉をＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪＫＬＭとして、ＡＢＣＤとＥＦＧＨの重さを比べます。天秤が釣り合えば、残りのＩＪＫＬＭの５個に重さの違う玉があることがわかります。あとは残り２回で５個の中から重さの違う玉を見つけ出します。
基準となる玉が別にあれば、天秤を２回つかうことで４個ではなく５個から重さの違う玉を見つけることがでるのです。ＡＢＣを基準に使うとして、ＡＢＣとＩＪＫを比べます。天秤が傾けばＩＪＫの中に重さの違う玉があることがわかるし、重いのか軽いのかもわかります。そうすればあと１回でＩＪＫの中から見つけることができます。ＡＢＣとＩＪＫが釣り合った場合には残りのＬＭのどちらかの重さが違うのですから、基準のＡとＬを比べればわかります。
難しいのはＡＢＣＤとＥＦＧＨを比べて傾いた場合。ＡＢＣＤの方が下がれば、ＡＢＣＤの中に重い玉があるかＥＦＧＨの中に軽い玉があるのかどちらかです。
次にどうするかというと、ＡＢＥとＣＤＦを比べます。つまり重いかもしれない玉２個と軽いかもしれない玉１個を組み合わせて比べるわけです。これで釣り合えば残りのＧＨのどちらかが軽いことがわかり、残り１回で見つけられます。傾いたときもＡＢＥが下がったのならばＡＢのどちらかが重いかＦが軽いので、ＡとＢを比べることでわかります。ＣＤＦが下がった場合も同様です。

天秤を４回使った場合も同じようにすれば、４０個の中から重さの違う１個を見つけることができるはずです。最初に１３個と１３個で比べ、つりあったら残り１４個のうち９個を基準の玉と比べることで、傾いた場合には重いかもしれない玉６個と軽いかもしれない玉３個の組み合わせて比べれば大丈夫、だと思いますたぶん。

重い玉ではなく、重さの違う玉という条件に変えることで問題が難しくなりますが、個数の方を変えることもできます。

２０個の玉の中に、他よりも重い玉がいくつか混じっている。重い玉同士の重さは同じだとして、重い玉が何個まざっているのかを見つけるには天秤を何回使えばよいか。

答は１１回。ヒントとしては、個数はわかるけれどもどれが重い玉なのかはわからない方法です。