極限値 - Log of ROYGB

「prima materia diary」のhttp://materia.jp/diary/20060602.html#p03にある“『1=0.9999…… ?』から『極限で使われる＝は等号ではないのではないか?』や『テトラちゃんとハーモニック・ナンバー』へ”とそれに続くエントリーを読んで考えたこと。以前に書いたことにも関連があります。

$\large 0.99999\cdots=1$
を説明するのに数列の極限を使うやり方があります。
$\large \begin{eqnarray}\sum_{k=1}^\infty\frac{9}{10^k}&=&\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots\\&=&0.9+0.09+0.009+\cdots\\&=&0.999\cdots\end{eqnarray}$
上記の数列の極限値を求めると１になります。
しかし、極限値が１になるというだけでは不十分だと考えられます。極限値と、代入によって得られる値は同じになるとは限りません。
$\large \lim_{x\to{n}} f(x)=f(n)$ 　こうなる場合もありますが、必ずなるわけではありません。
$\large \frac{1}{1-x}$ 　という関数を考えてみます。このｘに１を代入した場合、分母が０になるので解なしです。しかし、極限値をとることはできます。
$\large \lim_{x\to{1}} \frac{1}{1-x}$

以前に書いた関連ありそうなものへのリンク
可能自然数・実自然数
 １０進数