積と和

小説に出てくる数学の問題。今回は「笑わない数学者」に出てくるビリヤード球を使ったもの。６月２７日の問題は数字の積に関しての物ですが、今回は数字の和に関する問題です。

５つのビリヤード球をリング状にならべて、そこから１つでも２つでも全部でも好きな数だけ球を取る。ただし並んでいる物しかとれないとし、とった球に書いてある数の合計が１から２１の全ての数を表すことが出来るようにするにはどうしたら良いか。

ビリヤードの球でなく、任意の自然数としても同じことです。ビリヤード球の場合は同じ数が存在しないのですが、同じ数を使わないことは他の条件からもわかります。５つでなく任意のｎ個を並べた場合を考えるには、ビリヤード球に書かれている数字が１５までという制限を外して考える必要もあります。

５つのビリヤード球を連続した状態でとるとすると、２１通りが考えられます。

１個の球をとる場合が５通り。
２個の球をとる場合が５通り。
３個の球をとる場合が５通り。
４個の球をとる場合が５通り。
５個の球をとる場合が１通り。

合計して２１通りです。
２１通りで１から２１までの数を表すのだから、同じ数になる場合があっては困るのです。また、２１通りで１から２１までの数を表すということから、５つでなくｎ個の場合はいくつまでの数を表すことができればいいのかもわかります。
５つの場合は（５×４）＋１で２１通りですが、これは５（５−１）＋１ということです。ｎ個の数を使う場合はｎ（ｎ−１）＋１通りになるので、１からｎ（ｎ−１）＋１までの数を表すようにすればいいことがわかります。

その他の条件についても判明します。

• １は必ず存在する。
• ２も必ず存在する。

これは１を表すには１の球が必要だし、２を表すのに１を２つ使ってしまえば１を表す場合が２通りになってしまうからです。他にも５つの球の場合は、全てを足した合計が２１になるのは当然だし、ｎ個の場合も合計がｎ（ｎ−１）＋１になります。

そこから先は、場合によって変わってきます。もし１と２が隣同士に配置されれば、両方をとることで３の数にすることができますが、離れて配置されていた場合は別に３が必要になります。
これがはっきりするのは４つの数を使った場合です。１と２が隣に配置されている場合と、離れて配置されている場合の両方の解が存在します。ここでは解答を書きませんが、異なる解を導き出しているサイトを紹介しておきます。

参考リンク
http://tokyo.cool.ne.jp/meikyu/art96/gdu9610a.html　『笑わない数学者』の謎を解く
http://naym1.cocolog-nifty.com/tetsuya/2005/08/__5e40.html　徹也 笑わない数学者 ビリヤード解答

４つの球の場合で解が２つ存在することから、解が一意には求まらないことがわかります。あとは、任意のｎの場合に解が存在するかどうかです。
プログラムを使って解を求めている人もいるようです。いくつか紹介しておきます。

参考リンク
http://d.hatena.ne.jp/Gemma/20080316/1205606599　『笑わない数学者』のビリヤードの問題をGaucheで - Gemmaの日記
http://celori.at.webry.info/200511/article_1.html　「笑わない数学者」のビリヤード問題 Blog 2pi-ウェブリブログ