背理法によって存在しないことを証明する

最大の自然数が存在しないことを背理法を使って説明してみます。
まず最大の自然数をＭとおきます。
Ｍ＋１も自然数の定義により自然数であると考えられますが、これはＭが最大の自然数であるという定義と矛盾します。
ゆえに最大の自然数は存在しない。

次は１より小さい最大の実数が存在しないこと。
１より小さい最大の実数をＲをおきます。
（Ｒ＋１）／２は、Ｒよりも大きく１よりも小さい実数だと考えられますが、これはＲが最大の実数であるという定義と矛盾します。
ゆえに１より小さい最大の実数は存在しない。

今度は０よりも大きい最小の実数が存在しないこと。
０より大きい最小の実数をＥとおきます。
Ｅ／２はＥよりも小さく０よりも大きな実数だと考えられますが、これはＥが０よりも大きい最小の実数であるという定義と矛盾します。
ゆえに０よりも大きい最小の実数は存在しない。

最後に、半径１の円の外周を含まない内側にある図形で最大の面積を持つものは存在しないこと。
半径１の円の外周を含まない内側の図形で最大の物の面積をＳとおきます。
（Ｓ＋π）／２は、Ｓよりも大きく半径１の円の面積πよりも小さくなると考えられますが、これはＳが最大の図形だという定義と矛盾します。
ゆえに半径１の円の外周を含まない内側の図形で最大の面積を持つ物は存在しない。

これらの問題は、http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20080822の「背理法を使うとき忘れてはならないこと - hiroyukikojimaの日記」と、http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20080827の「バーナンキの背理法に足りないもの - hiroyukikojimaの日記」に出てきた数学の問題から思いついたものです。前にも似たようなことを書いたこともあります。
最初のひとつはいいとして、あとの３つはパラドックス的な感じがするのではないでしょうか。もっと一般的なのとしては、０を含まない正の実数Ｒと、Ｒ’＝１／Ｒによって導かれるＲ’は一対一対応させることが可能で、０付近と無限大付近が入れ替わるのは不思議な感じがします。最後の円の外周を含まないものとか、球の表面を含まないものはトポロジーの話に登場することがあります。

以前に書いたもの
1より小さい最大の実数