ｅ＾ｉｘをイメージする
について理解を深める方法。
指数部にあるｉとｘを分けて考えます。
ｅのｘ乗は０よりも大きい実数の値を持ちます。つまり０よりも大きな実数をｉ乗した結果は、どんなばあいでも原点を中心とした半径１の円周上の点で示される値になります。
正の実数であれば、どんなに大きな値だとしてもｉ乗することで半径１の円周上の点になるのは不思議な感じがします。この不思議な現象にはｅは関係ありません。ｉという虚数を使った冪乗によって起きることで、何故そうなのかを考えるとますます不思議が深まりますが、結果から虚数の冪乗とはこんなものだとイメージすることはできるでしょう。
ｅのｉ乗は、ｃｏｓ１＋ｉ ｓｉｎ１という複素数の値をとります。これは当然ながら原点を中心として半径１の円周上の点に含まれます。原点とｅ＾ｉで示される点を結んだ線は、ｘ軸との角度が１ラジアンになります。
原点からの長さ１で角度１の点というのが、ｅのｉ乗を計算した結果です。この長さ１角度１の点をｘ乗することで、長さ１で角度ｘの点を得ることができます。
しかし、ｅをｉ乗することで長さ１で角度１になるのはどうにも不思議な感じです。
任意の数ａ*1を設定することでｅ＾ｉｘの変形を考えられます。
とすればｅ＾ｉａは虚数のｉになるし、
ならば−１になります。
しかし、
だとｅ＾ｉ２πは１になってしまうのであまりうまくありません。１は何乗しても１になるからです。でも１のｎ乗根は複素解も含めれば１以外にもあるから使えないこともないかも。
