二乗を３回繰り返すと元に戻す数と代数と複素数平面

二乗を３回繰り返すことで元に戻る数が

とりあえずだまされたと思って-((-1)^(1/7))を2乗してみてくれ - アジマティクス

*1に書かれていました。
元エントリーは代数的に書かれているのですが、これを複素数平面でのベクトルの回転として考えることもできます。たぶん複素平面の方が直感的な理解はしやすいと思うのですが、不思議な数という感じは薄れてしまうかもしれません。
２乗を３回くりかえすと元にもどる数を、長さ１の複素平面のベクトルとして考えると以下の７つがわりと簡単に導き出せます。２乗を３回くりかえすというのはつまり８乗することなので、８乗すると元にもどる数ということです。

$(-1)^{\frac{2}{7}}$

$(-1)^{\frac{4}{7}}$

$(-1)^{\frac{6}{7}}$

$(-1)^{\frac{8}{7}}$

$(-1)^{\frac{10}{7}}$

$(-1)^{\frac{12}{7}}$

$(-1)^{\frac{14}{7}} = 1$

これらすべてが８乗すると元の数にもどります。最後の−１の７分の１４乗は−１の二乗だから１です。これが何乗しても１のままというのは簡単ですが、他の数がどうなるのか最初の１つを計算してみます。
$((-1)^{\frac{2}{7}})^8 = (-1)^{\frac{2*8}{7}} = (-1)^{\frac{16}{7}} = (-1)^{2+\frac{2}{7}} = (-1)^{\frac{2}{7}}$
他の数も同様に８乗すると元の数にもどります。
この７つの数には元記事にある $-(-1)^{\frac{1}{7}}$ が無いように思えるかもしれませんが、 $(-1)^{\frac{8}{7}}$ がそうです。マイナスを付けた表記でも書いてみるとこうなります。

$(-1)^{\frac{2}{7}} = -(-1)^{\frac{9}{7}}$

$(-1)^{\frac{4}{7}} = -(-1)^{\frac{11}{7}}$

$(-1)^{\frac{6}{7}} = -(-1)^{\frac{13}{7}}$

$(-1)^{\frac{8}{7}} = -(-1)^{\frac{1}{7}}$

$(-1)^{\frac{10}{7}} = -(-1)^{\frac{3}{7}}$

$(-1)^{\frac{12}{7}} = -(-1)^{\frac{5}{7}}$

$(-1)^{\frac{14}{7}} = -(-1)^{\frac{7}{7}} = 1$

複素平面状のベクトルとして考えると $(-1)^{a}$ というのは $a=0$ の時の１から始まり、 $a$ が増えると原点からの長さは１のままで原点を中心にして左向きに回転していき、 $a = \frac{1}{2}$ で虚数のｉになり、 $a=1$ で-1、 $a = \frac{3}{2}$ で−ｉ、そして $a=2$ で一周してまた１に戻ってくるというイメージです。