ベクトルの彼方
これが昨日書いたｉを使わないオイラーの等式の変形です。マイナス１の１乗がマイナス１になるという非常にシンプルな式です。というかこれにいったいどんな意味があるのかというのが疑問になるくらいでしょう。
しかし、マイナス１のｘ乗の特別な場合だと考えるとどうでしょう。
ｉのｘ乗のように、オイラーの公式と似た形になります。ｅという特別な数を虚数乗という操作をするのでもなく、虚数でさえないマイナス１の冪乗で三角関数を表すことができるという点ではオイラーの公式よりも不思議な感じもしてきます。
さて、ｅ＾ｉｘと同じようにコサインの実数部とサインの虚数部で表すことのできるものはｉ＾ｘや（−１）＾ｘの他にはないのでしょうか。
結論からいうと、ｉや−１以外にも無数にあります。具体的にはｅ＾ｉｘで表せる数のうち、１以外はすべて同様の性質を持ちます。１の場合には何乗しても１のままですが、それ以外のｅ＾ｉｘで表せる数は長さ１でｘ軸に対して０でない角度を持つベクトルと考えることができます。ベクトルの冪乗によって、角度を変えることができるとするとイメージがつかみやすいと思います。
例えば
で定義されるａは、ｘ軸に対して角度が１度のベクトルです。
だから、
はｘ度のベクトルになります。ｘが２なら２度のベクトル。ｘが９０なら９０度、３６０なら３６０度という具合です。ｎ乗すればｎ度になるので、何か便利そうです。
角度の表記としては一周が３６０度の度数方と呼ばれるものよりも、一周が２πになるラジアン表記の方が数学では良く使われます。*1
では、ラジアン表記で１ｒａｄのベクトルというのもあるでしょうか。
で定義されるｂが、ｘ軸に対して角度１ｒａｄのベクトルです。
このｂの定義は、違う表記も可能です。
つまり、自然対数の底ｅをｉ乗したものが、長さ１で角度１のベクトルだったというわけです。
