虚数の実数乗 - Log of ROYGB

昨日の続きのような話で、虚数の実数乗について考えてみます。

虚数ｉを２乗すると−１になります。３乗なら−ｉ、４乗なら１で５乗するとｉとなってもとに戻ります。
そういったことから想像すると、

$\Large i^x$

のxの値を変えた場合には原点を中心として半径１の円周上をぐるぐる回るのではないかと思いました。

$\Large i^{\frac{1}{2}}$

は√ｉだから、

$\Large \frac{\sqrt{2}+i\sqrt{2}}{2}$

となって、これも円周上の点です。

$\Large i=e^{\frac{i\pi}{2}}$

を使うとｉの実数乗が半径１の円周上をぐるぐる回ることが証明できます。

$\Large \begin{eqnarray}i^x&=&(e^{\frac{i\pi}{2}})^x\\&=&e^{\frac{i\pi{x}}{2}}\\&=&\cos{\frac{\pi{x}}{2}}+i\sin{\frac{\pi{x}}{2}}\end{eqnarray}$

これは、
$\Large e^{ix}$
のｘに係数π／２を加えたものです。

$\Large y=\frac{2x}{\pi}$

とおけば、

$\Large i^y=e^{ix}$

となります。
だったらｅ＾ｉｘの代わりにｉ＾ｘを使うようにしてもいいような気がします。

$\Large e^{i\pi}=-1$

$\Large i^{2}=-1$

のようにすればｅとπが不要になります。しかしこれだとシンプルすぎてありがたみが薄くなってしまうかも。
さらに簡略にしてｉも使わずにすます方法も思いついたのですが、それはまた明日。