ｅじゃない数の虚数乗

人力検索はてなの質問の、
e^(iπ) + 1 = 0 上式の数学的証明ではなく「全くバラバラの分野で扱われ、何の関係性も持ち得ないと思われていた3つの数が、実際には結び付けられるどころか、非常にシンプルな解を導き出す」理由を教えて下さい。
に関連して虚数乗とはいったい何だろうというのを少し考えました。

$\Large e^{i\pi}=-1$

というオイラーの等式は非常に有名で、これは

$\Large e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$

の特別な場合と考えることができます。
もう少し直感的なイメージでいうと、ｅを虚数乗すると原点が中心で半径１の円周上をぐるぐる回るわけです。
では、ｅでない場合だとどうなんでしょう。

任意の数をａとして

$\Large a^{ix}$

という式について考えます。
まず、

$\Large a=1$

の場合には１を何乗しても１で変わりません。実数乗ではなく虚数乗でもそうなるのかというのは少し微妙な気もしますが、とりあえず先に進みます。
２や３などの虚数乗ではどうかと想像してみると、ｅの場合に円をグルグル回るのだからｅよりも大きな３などの場合は螺旋を描きながら拡大し、ｅよりも小さな値だと螺旋を描いて減少するんじゃないかと思いました。ａの値によらず、ｘ＝０の時には１になるのだから出発点は同じです。

実際にどうなるかを計算してみると、

$\Large a=e^{\ln{a}}$ *1