ｍとｎ

任意の偶数が２ｍで表せるのに、任意の偶数を足すことを２ｍ＋２ｍで表現することはなぜいけないのか

偶数は２で割り切れる数なので、任意の整数をｍとして２ｍで任意の偶数を表すことができます。

たとえばｍが２の場合に
２ｍ＝４で、４は偶数です。

ｍが３の場合には
２ｍ＝６で、６は偶数です。

偶数と偶数を足した数も偶数で、
たとえば
４＋６＝１０で、１０は偶数です。

任意の偶数を表すのに２ｍを使えば、偶数たす偶数は
２ｍ＋２ｍ
のように表すことができる。

これでは同じ数の足し算になってしまうようにも思えてきますが、ｍの値は任意の整数なのでｍが２の場合の２ｍつまり４と、ｍが３の場合の２ｍつまり６を足すのだと考えれば２ｍ＋２ｍで任意の偶数同士を足すのだと思ったとしても不思議はありません。２ｍが任意の偶数を表せるのに、２ｍ＋２ｍの場合は急に同じ数になってしまうというのも考えてみれば不思議です。それぞれの２ｍを別々に任意に決めたとして何か問題があるのでしょうか。

同じものと違うもの

でも同じ式の中に出てくるｍが、最初のは２で次は３だとかだとわかりにくくなります。だから通常は別の文字を使って区別します。
ｍが２の場合と３の場合をいっしょの式で使う場合には、片方をｍではなくｎなどにして
２ｍ＋２ｎ
のようにします。

といったような話は授業でやったりするのかな。何となく暗黙の了解として説明無しで進んで行くような気もしたり。これとは逆にｘ＝０の場合とｘ≠０の場合などに分けて解答する問題だと説明は行なわれるかも。
しかしこうして考えると任意の数というのも完全に任意ではなく、ある時点で任意に設定できるけれどいつでも再設定できるわけでもないということ。

関連リンク

「偶数と偶数の和は偶数であることの説明 - 紙屋研究所」http://d.hatena.ne.jp/kamiyakenkyujo/20140531/1401463750
「偶数と偶数の和は偶数であることの説明 - REVの日記　@はてな」http://d.hatena.ne.jp/REV/20140531/p1