http://materia.jp/blog/20070901.html#p04の「ざっと計算する」で取り上げられていた人力検索はてなの質問http://q.hatena.ne.jp/1188620855の「log2 50 ※底の変数 答えはいくつになりますか？ 過程も教えてください - 人力検索はてな」に関して。本日の記録つまりログはＬｏｇに関してということになります。
まず、Ｌｏｇとは何かについて。これは指数を利用した数の表記方法です。指数というのは１０の２乗とかそういうもの。ここでは１０の２乗を10~2のように書きます。１０の２乗は１０×１０で１００になります。
Ｌｏｇというのはこれを逆にしたものです。１０を底とするＬｏｇの１００が幾つになるかというと２です。
なぜ、Ｌｏｇというものが使われるかというと、計算を楽にするためです。指数の計算では掛け算を足し算に、割り算を引き算にすることができます。１０の２乗と１０の３乗を掛け合わせた結果は、１０の（２＋３）乗と同じです。数式で書くと次の通りです。
10^2×10^3 = 10^(2+3) = 10^5
100×1000 = 100000
ただし、掛け算を指数の足し算にするためには１０の何乗のように、何乗のもとになる数が同じでなくてはいけません。Ｌｏｇというのは、数を１０の何乗のような形で表記する方法として使われます。別に１０の何乗でなくても、２の何乗とか３の何乗でも同じことがいえます。
質問のlog2 50は、２を何乗したら５０になるかを計算した値です。
概算についてはhttp://materia.jp/blog/20070901.html#p04ですでに書かれていますが、２を何乗したら５０を超えるかを考えていきます。２の５乗は３２なので、５０よりは小さく、２の６乗は６４なので５０よりも大きくなります。
つまり
log_2 32 = 5
log_2 64 = 6
なので、５０は３２よりも大きく、６４よりも小さいことからlog_2 50は５よりも大きく６よりも小さくなるというわけです。
小数点いかをどうやって計算するかというと、指数を使います。５０の１０乗が２の何乗と何乗の間にあるのかを計算すると小数点以下第１位まで求まります。
50^10 = 97656250000000000
で
2^56 = 72057594037927936
2^57 = 144116188075855872
であることから
56 < log_2 50^10 < 57
となります。ここで、指数の計算で冪乗が掛け算に、冪乗根が割り算になることを使います。
つまり
5.6 < log_2 50 < 5.7
となるわけです。これをどんどん進めていけば、小数点以下何位まででも計算できます。しかし、いちいち計算しているとすごく大変です。あらかじめ計算した結果が書いてある対数表というものが世の中にはあって、それを利用することで話は簡単になります。
その他、対数を利用したものとして計算尺やアナログコンピュータがあります。どちらも対数変換後に足し算や引き算をすることで、掛け算や割り算を簡単に行うことができます。ただ、どちらも現在は殆ど使われていないのが何とも。
他に対数に関連したもので身近なものというと、数の桁数があります。log_2 50が５より大きく６よりも小さいということから、50を二進数表記した場合の桁数が６桁であることがわかります。
（９月２日追記）計算に間違いがあったので修正しました。
（９月３日追記）まだ間違いがあったので修正しました。コメントでの指摘ありがとうございました。
