偶数の和

http://d.hatena.ne.jp/yaneurao/20091223#p1の「理解するってどういうことだろう？ - やねうらお−よっちゃんイカを食べながら年収1億円稼げる(かも知れない)仕事術」では、１から始まる奇数の和が平方数になるということについて書かれています。

では、２から始まる偶数の和だとどうなるんだろうと考えました。
さっき見たらコメント欄に偶数の和についても書かれていたのでどうしようかと思ったのですが、図もつくったので予定通り書きます。（追記：読み直したらコメントだけでなく、エントリーにも偶数の場合が書かれていた。）



左上の２個からはじめて４個、６個と丸を足していった場合に、うまいこと長方形に並べることができます。奇数の場合は正方形なので、同じ数の自乗になるわけですが、偶数の場合は同じ数ではないので長方形です。

しかし、
最初の２個の場合は
１×２
次の４個を足して６個だと
２×３
さらに６個を足して１２個になると
３×４
８個を足して２０個の場合は
４×５
と、これまた法則性がありそうです。

一般的な式にすると、２からｎ番目までの偶数の和は、
ｎ（ｎ＋１）
で表すことができます。
奇数の場合はｎの２乗なので、偶数の場合のほうがｎだけ多くなるわけです。
式で考えると、ｎ個の奇数のそれぞれに１を足して偶数にすると、１×ｎつまりｎだけ多くなるということなので不思議でもなんでもないのですが、気がついたときは不思議な感じがしました。