０．９９９…８？

http://d.hatena.ne.jp/ROYGB/20080126#decimalの「無限小数の不思議」とそのコメント欄で書いたことだけれども、あらためて書いてみます。

まず、０．９９９…とどこまでも続く数をつくるのに以下のような数列を考えます。

$\large 0.9, 0.99, 0.999, \cdots, 1-\frac{1}{10^n}$

$\large \lim_{n\to\infty}1-\frac{1}{10^n}$

と書くことが出来て１に収束します。０．９９９…＝１だから当たり前です。

でも、以下のような数列ではどうでしょう。

$\large 0.8, 0.98, 0.998, \cdots, 1-\frac{2}{10^n}$

最初の数列との違いはすべてが９ではなく、先頭は８になっていることです。

この極限値も１になります。

$\large \lim_{n\to\infty}1-\frac{2}{10^n}=1$

なんか不思議に感じませんか？
数列の極限から考えるとあたりまえではありますが、０．９９９…＝１よりは納得するのが難しそうです。だって０．８、０．９８、０．９９８、０．９９９８と９がいくら増えても先頭は８なわけですから。

先頭の数は８でなくても良く、それどころか１桁の数字でなくてもかまいません。

$\large 0.0, 0.90, 0.990, \cdots, 1-\frac{10}{10^n}$

でも

$\large \lim_{n\to\infty}1-\frac{10}{10^n}=1$

となります。
これはどのくらいまで大きく出来るかというと、どこまでも大きくしていっても大丈夫みたいです。
なにしろ

$\large \lim_{n\to\infty}1-\frac{n}{10^n}=1$

だって成り立つからです。
これを数列にすると

$\large 0.9, 0.98, 0.997, \cdots, 1-\frac{n}{10^n}$

のようになります。分母が冪乗だからこうなるのでしょうか。
では、分子も冪乗にしてみましょう。

$\large \lim_{n\to\infty}1-\frac{2^n}{10^n}=1$

です。
これは

$\large \frac{2^n}{10^n}=(\frac{2}{10})^n=\frac{1}{5^n}$

で
$\large \lim_{n\to\infty}\frac{1}{5^n}=0$

だから
$\large \lim_{n\to\infty}1-\frac{1}{5^n}=1$

となるからです。これは五進数表記で０．４４４…とするのと同じことですが、まあそれは余談。*1

２の冪乗でなく２でも４でも、９だってかまいません。
しかし１０はいけません。

$\large \lim_{n\to\infty}1-\frac{10^n}{10^n}=0$

となってしまいます。

*1:全部が余談ともいえますが。

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